3.2 Suites récurrentes
Exercice 3.10 --- Suite récurrente numériquement instable.
Nous allons étudier la convergence de la suite de réels un
définie par la relation de récurrence et les conditions
initiales suivantes :
u0 = 1.0, u1 = 0.9,
un+2 = 2.0 un+1 - 0.99 un.
Construire un programme qui affiche les 1000 premiers termes de cette
suite.
Pouvez vous en déduire la limite de la suite ?
Si vous désirez voir tous les termes calculés par votre
programme, vous pouvez utiliser la commande shell $ a.out |
less.
Vous trouver plus d'informations ici 3.2.
Exercice 3.11 --- Système proies-prédateurs.
Nous allons modéliser l'évolution de lapins et de renards
virtuels.
On considère une population initiale de lapins constituée
de 38195 lapins et une population initiale de renards constituée
de 200 renards.
Dans notre modèle, ces deux populations sont virtuelles car on
suppose qu'elles sont décrites par deux suites
récurrentes (uj) et (vj). Ainsi, elles ne se
renouvellent qu'une fois par cycle (par an, par exemple).
Les terme ui et vi des suites (uj) et (vj)
décrivent le nombre de lapins et de renards la iième année.
Mais pour les calculer, on doit utiliser des nombres flottants car
si deux couples de lapins ont en moyenne trois petits lapins sur un
an, le taux de reproduction de la population est le nombre flottant
associé à 3/4. Avec ce taux, si une année le nombre de
lapins est uj, l'année suivante le nombre de lapin uj+1
sera l'entier le plus proche de 3uj/4.
Les démographes lapins et renards ont constaté que le taux de
reproduction des lapins est :
et que celui des renards est
Ces taux sont des nombres flottants ; C représente le taux de
reproduction des lapins (un entier compris entre 1 et 4 inclus).
Ainsi, les populations évoluent suivant les récurrences :
uj+1 = Ljuj
et vj+1 = RJvj.
Les populations sont des nombres entiers, il faut donc convertir
en entier les résultats flottants obtenus après multiplication.
Construire une procédure qui permet de saisir au clavier le taux
de reproduction des lapins et qui affiche les nombres de lapins et
de renards pour les deux cents premières années. Cette
procédure devra permettre à l'utilisateur de faire autant
d'expérience qu'il le souhaite.
Remarques bibliographiques. Ce problème est tiré de travaux pratiques proposés par
Stéphan
Tassart. Il est inspiré par un article de La Recherche,
numéro 296.
Pour tout commentaire : Alexandre Sedoglavic.